DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media μ 1 y desviación estándar σ1, y la segunda con media μ2 y desviación estándar σ2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico 1-2
La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:
FORMULA
DATOS
X= Media de la Muestra.
μ =Media de la Población Miu
σ = Desviación Estándar.
n = Tamaño de la muestra.
EJERCICIOS 1
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142,mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si 1xrepresenta el promedio de los pesos de 20 niños y 2xes el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.
Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ1 = 100 libras Z=((20) - (100-85)) / (√(((14.142)² / 20) + ((12.247)² / 25)) = 1.250
σ1 = 14.142 libras Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
σ2 = 12.247 libras 1 - 0.89435 = 0.10565
n1 = 20 niños Luego se multiplica por 100%
n2 = 25 niñas 0.10565 x 100% = 10.56%P = (x1 − x2)>20 =?
R= La probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas es del 10.56%.
Uno de los principales fabricantes de televisores compra las cabezas laser de a dos compañías. Los laser de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 cabezas laser de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.
Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ1 = 7.2 años Z = ((1)- (7.2 - 6.7)) / (√(((.8)² / 34) + ((.7)² / 40)) = 2.836
σ1 = 0.8 años Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
σ2 = 0.7 años 1 - 0.99767 = 0.00233
n1 = 34 tubos Luego se multiplica por 100%
n2 = 40 tubos 0.00233 x 100% = 0.233%P = (x1 − x2)>1 = ?
R= La probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 cabezas laser de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B es del 0.233%.
Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de x1 – x2= 0.45km/L que la segunda gasolina?
Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ1 = 0 Z = ((0.45) - (0)) / (√(((1.23)² / 35) + ((1.37)² / 42)) = 1.5176
σ1 = 1.23 km/lto Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
σ2 = 1.37 km/lto 1 - 0.93448 = 0.06552
n1 = 35 autos Luego se multiplica por 100%
n2 = 42 autos 0.06552 x 100% = 6.55%P = (x1 − x2)>0.45 = ?
R= La probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de x1 – x2= 0.45km/L que la segunda gasolina es del 6.55%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?.
Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2))
Se realizan dos operaciones para sacar Z ya que tenemos dos medias de la muestra.
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ1 = 0 Z1 = ((0.65) - (0)) / (√(((1.23)² / 35) + ((1.37)² / 42)) = 2.192
σ1 = 1.23 km/lto Z2 = ((0.83) - (0)) / (√(((1.23)² / 35) + ((1.37)² / 42)) = 2.79
σ2 = 1.37 km/lto Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(2.79) y el valor de Z1 es de→0.99736
n1 = 35 autos Se hace la resta Z2-Z1 ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n2 = 42 autos 0.99736 - 0.98574 = 0.01162
P = (x1 − x2)>0.65 y 0.83 =? Luego se multiplica por 100%
0.01162 x 100% = 1.16%R= La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1 es del 1.16%.
Z = ((x̅1-x̅2) -(μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ1 = 3.5 Z = ((0.4) - (3.5-3.3)) / (√(((0.4)² / 25) + ((0.3)² / 36)) = 2.120
σ1 = 0.4 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
σ2 = 0.3 1 - 0.98300 = 0.017
n1 = 25 Luego se multiplica por 100%
n2 = 36 0.017 x 100% = 1.7%P = (x1 − x2)>0.4 =?
R= La probabilidad de que una muestra de 25 rodamientos de la empresa A tenga una vida media de por lo menos 0.4 años más, que la vida media de una muestra de 36 rodamientos de la empresa B es del 1.7%
Las compañías A y B fabrican dos tipos de cables que tienen una resistencia media a la rotura de 4.000 y 4.500 libras y desviaciones estándar de 300 y 200 libras respectivamente. Si se comprueban 100 cables de A y 50 cables de B; ¿Cuál es la probabilidad de que la media a la rotura de B sea mayor que la de A en 400 libras o más? .
Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ1 = 4000 Z= ((400) - (4500 - 4000)) / (√(((200)² / 50) + ((300)² / 100)) = -2.425
σ1 = 300 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
σ2 = 200 1 - 0.00776 = 0.99224
n1 = 100 Luego se multiplica por 100%
n2 = 50 0.99224 x 100% = 99.224%P = (x1 − x2)>400=?
R= La probabilidad de que la media a la rotura de B sea mayor que la de A en 400 libras o más es del 99.224%
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES
ESTIMADOR:
Es un estadístico (es decir, es una función de la
muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por
ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro
desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en
diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las
observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.
SESGO:
Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia
entre la esperanza (o valor esperado) del estimador y el verdadero valor del
parámetro a estimar. Es deseable que un estimador sea insesgado o centrado, es
decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanza igual al parámetro que se
desea estimar.
EFICIENCIA:
Un estimador es más eficiente o preciso que otro, si
la varianza del primero es menor que la del segundo.
CONVERGENCIA:
Para estudiar las características de un estimador no solo basta con saber el sesgo y la varianza, sino que además es útil hacer un análisis de su comportamiento y estabilidad en el largo plazo, esto es, su comportamiento asintótico. Cuando hablamos de estabilidad en largo plazo, se viene a la mente el concepto de convergencia. Luego, podemos construir sucesiones de estimadores y estudiar el fenómeno de la convergencia.
Comportamiento Asintótico: En el caso de las variables
aleatorias, existen diversos tipos de convergencia, dentro de las cuales
podemos distinguir:
-Convergencia en probabilidad (o débil).
-Convergencia casi segura (o fuerte).
-Convergencia en media cuadrática.
-Convergencia en distribución.
CONSISTENCIA:
También llamada robustez, se utilizan cuando no es posible emplear estimadores de mínima varianza, el requisito mínimo deseable para un estimador es que a medida que el tamaño de la muestra crece, el valor del estimador tiende a ser el valor del parámetro, propiedad que se denomina consistencia
FORMULA
Se recibe un cargamento muy grande de 2.500 bultos de plátanos provenientes de una importación y se desea estimar el peso promedio (µ) de dichos bultos, para lo cual se toma una muestra aleatoria de n=100 de bultos, que arrojan un peso promedio de x̅ =21.6 kilos. Se sabe por experiencias anteriores, que la desviación estándar de dichos cargamentos es de σ=5.1 kilos. Se quiere un nivel de confianza en la estimación del 95% (1-α=0.95).
P = ( x̅ - Z a/2 * (σ/√n) ≤ μ ≤ x̅ + Z a/2 * (σ/√n) ) = 1- α
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
(Z a/2) es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x̅ = 21.6 P = ( 21.6 − 1. 96 ∗ (5.1/(√100)) ≤ μ ≤ 21.6 + 1. 96 * (5.1/√100) ) = 0.95
Z a/2 = 1.96 P = (22.596 ≤ μ ≤ 20.604) = 95%
σ = 5.1 P = (20.604 ≤ μ ≤ 22.596) = 95%
n = 100
EJERCICIOS 2
De acuerdo al ejemplo anterior, supongamos que la desviación estándar vale 4.8 kg y ahora se pide un nivel de confianza del 99%, ¿Cuánto varían los resultados?
P ( x̅ - Z a/2 * (σ/√n) ≤ μ ≤ x̅ + Z a/2 * (σ/√n)) = 1- α
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x̅ = 21.6 Z a/2 es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
Z a/2 = 2.58 P = ( 21.6 − 2.58 ∗ (4.8/(√100)) ≤ μ ≤ 21.6 + 2.58 ∗ (4.8/(√100)) = 0.99
σ = 4.8 P = (22.838 ≤ μ ≤ 20.361) = 99%
n = 100 P = (20.361 ≤ μ ≤ 22.838) = 99%
EJERCICIOS 3
Se quiere estimar la media de las mediciones del peso específico de cierto metal. Se sabe que dichos pesos se distribuyen normalmente. Para tal estimación se toma una muestra aleatoria de n=3,000 mediciones y se encuentra que la misma arroja una media de µ= 3.2 libras con desviación estándar de σ= 0.3 libras. Se requiere un nivel de confianza del 95% en la estimación.
P = ( x̅ - Z a/2 * (σ/√n) ≤ μ ≤ x̅ + Z a/2 * (σ/√n) ) = 1- α
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
μ = 3.2 Z a/2 es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
Z a/2 = 1.96 P = ( 3.2 − 1.96 ∗ (0.3/(√3000)) ≤ μ ≤ 3.2 + 1.96 ∗ (0.3/(√3000)) = 0.95
σ = 0.3 P = (3.210 ≤ μ ≤ 3.189) = 95%
n = 3000 P = (3.189 ≤ μ ≤ 3.210) = 95%
EJERCICIOS 4
Se quería estimar la velocidad media en una calle con un límite teórico de 50km por hora. Con un radar o culto, se observó que la velocidad media de una muestra de 25 coches fue de 58km/hora. Si la desviación típica de la velocidad en esta calle es de 6km/hora, calcular un intervalo de 95% de confianza para la verdadera velocidad media.
P = ( x̅ - Z a/2 * (σ/√n) ≤ μ ≤ x̅ + Z a/2 * (σ/√n) ) = 1- α
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x̅ = 58 Z a/2 es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
Z a/2 = 1.96 P = (58 − 1.96 ∗ (6/(√25)) ≤ μ ≤ 58 +1.96 ∗ (6/(√25)) = 0.95
σ = 6 P = (60.35 ≤ μ ≤ 55.65 ) = 95%
n = 25 P = (55.65 ≤ μ ≤ 60.35) = 95%
EJERCICIOS 5
En 100 pruebas de alcoholímetro de conductores que se han saltado un semáforo en CDMX el nivel medio de alcohol en aire era de 0,65mg/litro con una desviación típica de 0,1mg/litro. Hallar un intervalo de 95% de confianza para la verdadera nivel media de alcohol en el aire para conductores que saltan el semáforo
P = ( x̅ - Z a/2 * (σ/√n) ≤ μ ≤ x̅ + Z a/2 * (σ/√n) ) = 1- α
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x̅ = 0.65 Z a/2 es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
Z a/2 = 1.96 P = ( 0.65 − 1.96 ∗ (0.1/(√100)) ≤ μ ≤ ( 0.65 + 1.96 ∗ (0.1/(√100)) = 0.95
σ = 0.1 P = (0.63 ≤ μ ≤ 0.67) = 95%
n =100 P = (0.63 ≤ μ ≤ 0.67) = 95%
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