Estadística : PRUEBA HIPÓTESIS

UNIDAD IV: PRUEBA HIPÓTESIS

Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones.

• Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra.

•La hipótesis nula, representada por Ho, es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la “creencia a priori”).

•La hipótesis alternativa, representada por H1, es la afirmación contradictoria a Ho, y ésta es la hipótesis del investigador.

•La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se continúa

creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son rechazar Ho o no rechazar Ho.

TIPOS DE ERRO I Y II

El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera. También es conocido como a ó nivel de significancia.

El error tipo II ó error β se define como la aceptación de la hipótesis

nula cuando ésta es falsa.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDA

Contraste de la media de una población normal con varianza σ² conocida:

Las suposiciones para esta prueba son mínimas.

La población o distribución de interés tiene una media μ y una varianza σ², conocida. El estadístico de prueba se basa en la media muestral , por lo que también se supondrá que la población está distribuida de manera normal o que se aplican las condiciones del teorema del límite central.

Esto significa que la distribución de  es aproximadamente normal con una media μ y una varianza σ²/n.

FORMULA

EJEMPLO 1:

Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.= 5%.

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

μ =70 años Ho; μ = 70 años. Rechazo

σ = 8.9 años H₁; μ > 70 años. Aceptar

x̅ = 71.8 años Regla de decisión:

n = 100 A)Si zR ≤ 1.645 no se rechaza Ho.

a = 0.05 B)Si zR > 1.645 se rechaza Ho y acepto H1.

Cálculos:

Z= (x̅-μ) / (σ/(√n)) = (71.8-70) / (8.9 / (√100)) = 2.02

Justificación y decisión:

Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

EJEMPLO 2:

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04.

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

μ = 800 horas Ho; μ = 800 horas. Hipótesis nula

σ = 40 horas H₁; μ ≠ 800 horas. Hipótesis alternativa

x̅ = 788 horas Regla de decisión:

n = 30 A)Si –2.052 ≤ ZR ≤ 2.052 No se rechaza Ho

a = 0.04 B) Si ZR < -2.052 ó si ZR > 2.052 Se rechaza Ho

Cálculos:

Z= (x̅-μ) / (σ/(√n)) = (788 - 800) / (40 / (√30)) = -1.643

Justificación y decisión:

Como –2.052 ≤ -1.643 ≤ 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado.

EJEMPLO 3:

Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que μ = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, μ < 5.5 onzas en el nivel de significancia de 0.05.

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

μ = 5.5 onzas Ho; μ = 5.5 onzas. Hipótesis Nula

σ = 0.24 onzas H₁; μ < 5.5 onzas. Hipótesis alternativa

x̅ = 5.23 onzas Regla de decisión:

n = 64 A)Si ZR ≥ -1.645 No se rechaza Ho

a = 0.05 B) Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho

Cálculos:

Z= (x̅-μ) / (σ/(√n)) = (5.23 - 5.5) / (0.24 / (√64)) = -9

Justificación y decisión:

Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de 5.5 onzas.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN Y DIFERENCIA DE PROPORCIONES

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

Las pruebas de proporciones son adecuadas cuando los datos que se están analizando constan de cuentas o frecuencias de elementos de dos o más clases.

El objetivo de estas pruebas es evaluar las afirmaciones con respecto a una proporción (o Porcentaje) de población. Las pruebas se basan en la premisa de que una proporción muestral (es decir, x ocurrencias en n observaciones, o x/n) será igual a la proporción verdadera de la población si se toman márgenes o tolerancias para la variabilidad muestral.

Las pruebas suelen enfocarse en la diferencia entre un número esperado de ocurrencias, suponiendo que una afirmación es verdadera, y el número observado realmente. La diferencia se compara con la variabilidad prescrita mediante una distribución de muestreo que tiene como base el supuesto de que Ho es realmente verdadera.

El concepto de la prueba de hipótesis también se puede utilizar para probar hipótesis en relación con datos cualitativos.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Método de prueba de la diferencia entre dos proporciones implica el uso de la distribución normal.

Esta prueba está basada en la diferencia entre las dos proporciones de la muestra a las cuales se puede aproximar con una distribución normal para muestras de tamaño grande. Para las dos poblaciones implicadas, interesa determinar si hay o no alguna diferencia en la proporción de éxitos en los dos grupos (prueba de dos colas) o si un grupo tuvo una proporción mayor de éxitos que el otro grupo (prueba de una cola).

FORMULA

Ejemplo 1:

Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10.

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

P= 70% = 0.70 Ho; P = 0.70. Hipótesis Nula

p = 8/15 = 0.5333 = 53% H₁; P ≠ 0.70. Hipótesis alternativa

n = 15 Regla de decisión:

a = 0.10 A) Si –1.645 ≤ ZR(-1.41) ≤ 1.645 No se rechaza Ho

B) Si ZR < -1.645 ó si ZR > 1.645 Se rechaza Ho

Cálculos:

Z= (p-P) / (√(P*p) / n) = (0.533 - 0 - 70) / (√(0.70 * 0.30) / 15) = -1.41

Justificación y decisión:

Como –1.645 ≤ -1.41 ≤ 1.645 No se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta.

Ejemplo 2:

Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando a = 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso?

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

P= 0.05 Ho; P = 0.05 rechaza

p = 4/200 = 0.02 H₁; P < 0.05 aceptar

n = 200 Regla de decisión:

a = 0.05 A) Si ZR ≥ -1.645 No se rechaza Ho

B) Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho

Cálculos:

Z= (p-P) / (√(P*p) / n) = (0.02 - 0.05) / (√(0.05 * 0.95) / 200) = -1.946

Justificación y decisión:

Puesto que –1.946<-1.645, se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la fracción de artículos defectuosos es menor que 0.05.

Ejemplo 3:

Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar Ho: P=0.05 contra H1: P ≠ 0.05. Utilice un valor de P para su conclusión.

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

P= 0.05 Ho; P = 0.05 = 5%

p = 13/300 = 0.043 H₁; P ≠ 0.05 <> 5%

n = 300 Regla de decisión:

a = 0.05 A) Si z <= 0.596 se acepta Ho (nula)

B) Si z >= 0.596 Se rechaza Ho

Cálculos:

Z= (p-P) / (√(P*p) / n) = (0.02 - 0.05) / (√(0.05 * 0.95) / 200) = -1.946

Justificación y decisión:

Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que la fracción defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechaza Ho.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS CONOCIDAS Y DESCONOCIDAS.

Poblaciones normalmente distribuidas con varianzas iguales

• Si es posible conocer las varianzas poblacionales, se utiliza como estadístico de prueba a Z.

• En este casoHo: μ x – μ y = 0 (Contraste bilateral).

Poblaciones normalmente distribuidas con varianzas desconocidas pero iguales.

• En primer lugar se debe establecer si efectivamente las varianzas poblacionales son iguales (Supuesto).

• Para ello es necesario construir un IC para la razón de varianzas (se obtiene utilizando el estadístico F).

• Ya verificada la igualdad de varianzas, se utiliza como estadístico de prueba a T.

Variable conocida

El intervalo de confianza para la media de una variable continua con el valor de la varianza de dicha variable conocida en toda la población es el intervalo menos usual.

Para estimar la media poblacional μ de una población Normal de media μ (desconocida) y de varianza (conocida), N(μ, σ²), se selecciona una muestra aleatoria X1, X2, …, Xn; de tamaño n de valores de una variable aleatoria de esta población y se calcula su media muestral, como mejor estimador puntual de μ. La construcción del intervalo de confianza se hace tomando como base este estimador. Para calcular un intervalo de confianza para μ partimos de la variable aleatoria.

Variable desconocida

Supongamos, en este caso, que la varianza poblacional de la variable de interés es desconocida. Nuestro objetivo sigue siendo el cálculo de un intervalo de confianza para la media de dicha variable.

Supongamos una muestra aleatoria X1, X2, …,Xn; de tamaño n de valores de la variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media μ y de varianza σ², ambas desconocidas. Para calcular un intervalo de confianza, en este caso, partimos de la variable aleatoria.

FORMULA

Ejemplo 1:

Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapa poros. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan diez especímenes con la fórmula 1, y otros diez con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 121 min y 112 min respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando (error, significancia)a = 0.05?

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

σ₁ = σ₂ = 8 minutos Ho; μ₁ = μ₂ = 0

x̅₁ = 121 minutos H₁; μ₁ - μ₂ > 0 Se desea rechazar Ho si el nuevo x̅₂ = 112 minutos ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado, por n₁ = n₂ = 10 eso se pone la diferencia mayor a cero o sea positiva para a = 0.05 poder probar que m2 es menor que m1.

Regla de decisión:

A)Si zR ≤ 1.645 no se rechaza Ho.

B)Si zR > 1.645 se rechaza Ho y acepto H1.

Cálculos:

Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2)) =

Z = ((121 - 112) - (0)) / (√(((8)² / 10) + ((8)² / 10)) = 2.52

Justificación y decisión:

Puesto que 2.52>1.645, se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la adición del nuevo ingrediente a la pintura si disminuye de manera significativa el tiempo promedio de secado.

Ejemplo 2:

Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los volúmenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estándar s1= 0.020 y s2= 0.025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo, sin importar si éste es o no de 16 onzas. De cada máquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. ¿Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice a = 0.05 (significancia, error).

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

σ₁ = 0.020 Ho; μ₁ - μ₂ = 0

σ₂ = 0.025 H₁; μ₁ - μ₂ ≠ 0 Si se cae en Ho se podrá probar que el x̅₁ = 16.015 minutos. Este dato se obtuvo volumen de llenado es el mismo en las dos máquinas. calculando la media de los datos en la máquina 1.

x̅₂ = 16.005 minutos. Este dato se obtuvo Reglas de Decisión calculando la media de los datos en la máquina 2. 1) Si –1.96 ≤ ZR ≤ 1.96 No se rechaza Ho

n₁=n₂ = 10 2) Si ZR < -1.96 ó si ZR > 1.96 Se rechaza Ho

a = 0.05

Cálculos:

Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² /n1) + (((σ2)² / n2)) =

Z = ((16.015 - 16.005) - (0)) / (√(((0.020)² / 10) + ((0.025)² / 10)) = 0.9877

Justificación y decisión:

Puesto que –1.96 ≤ 0.9877 ≤ 1.96 no se Rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que es el mismo llenado de ambas maquinas sin importar si es o no de 16 onzas y se encuentra el ingeniero en lo correcto.

Ejemplo 3:

Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro importante . Se sabe que s1=s2= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamaño 10 y 12 para cada plástico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plástico 1 y de 155 para el plástico 2. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿la compañía deberá utilizar el plástico 1? Utilice a = 0.05 =5%(nivel de significancia /error) para llegar a una decisión.

Solución:

Datos: Ensayo de hipótesis

σ₁ = σ₂ = 1.0 psi Ho; μ₁ - μ₂ = 10

x̅₁ = 162.5 psi H₁; μ₁ - μ₂ > 10 Se desea rechazar Ho si la media del plástico x̅₂ = 155 psi. 1 supera a la media del plástico 2 en por lo menos 10 psi.

n₁ = 10 Reglas de Decisión

n₂ = 12 1) Si ZR ≤ 1.645 No se rechaza Ho.

a = 0.05 2) Si ZR > 1.645 Se rechaza Ho

Cálculos:

Z = ((x̅1-x̅2) - (μ1-μ2)) / (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2)) =

Z = ((162.5 - 16.155) - (0)) / (√(((1.0)² / 10) + ((1.0)² / 12)) = 17.516

Justificación y decisión:

Puesto que 17.516 > 1.645 se Rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la Media del Plastico1 supera a la media del plástico 2 en por lo menos 10 psi.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA VARIANZA.

En situaciones como control estadístico de la calidad, de antemano se conocen los parámetros de referencia del proceso bajo control. La actividad para decidir si en un momento dado, el proceso está bajo de control, es la confrontación permanente de los datos obtenidos con la hipótesis sobre la centralidad del proceso (media) sobre la magnitud de su variabilidad (varianza)

La varianza como medida de dispersión es importante dado que nos ofrece una mejor visión de dispersión de datos.

Así podremos determinar una franja de confianza, con la base en la cual podríamos tomar decisiones al respecto.

Para esto entonces debemos conocer nuestro estadístico de prueba considerando que la población sigue una distribución normal.

Prueba de hipótesis para la varianza

Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con media µ y varianza σ², y se calcula la varianza muestral, se obtiene el valor del estadístico s2 que se utilizará para conocer la σ², mediante una variable aleatoria chi cuadrada con “n-1” grados de libertad. Formalizando con el siguiente teorema: si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño “n” que se toma de una población normal que tiene varianza σ², entonces el estadístico.

FORMULA

Ejemplo 1:

Se sabe que el contenido en gramos de un producto fabricado por una compañía, no reúne las especificaciones si la varianza de un lote de producción se aleja demasiado hacia arriba o hacia abajo de 6.5. Comprobar si un gran lote de producción reúne las especificaciones, si una muestra aleatoria de 20 unidades extraída aleatoriamente de dicho lote arrojó una varianza de 7.3. Utilizar un nivel de significación (α) del 5%. Se sabe que el contenido del producto se distribuye normalmente.

Solución:
Hipótesis nula e hipótesis alternativa: H05., σ₂ = 6.5 , Ha = σ₂ ≠ 6.5 La prueba es bilateral,
puesto que el problema es claro en el sentido de que un valor diferente a 6.5 no reúne las especificaciones.

Nivel de significación: α = 0.05

Criterio de decisión: Como la población se distribuye normalmente y la prueba es bilateral, entonces, según las tabla para 19 grados de libertad el valor de y el valor de .

Por lo tanto, el criterio de decisión será el siguiente: “Si el valor de calculado es menor que 8.90652 o mayor que 32.8523, se rechaza la hipótesis nula de que la varianza sigue siendo de 6.5, con un nivel de significación del 5%”. Z= 21.34 se acepta la hipótesis nula.

Cálculo del estadístico sobre el cual se basará la decisión: n=20, S²=7.3. Según la fórmula 6.15 de la página 175 tenemos:

X² = ((n - 1) * s²) / σ² = ((20 - 1) * 7.3) / 6.5 = 21.34

Tomar la decisión: Como el valor de X² calculado (21.34) se encuentra en la zona de aceptación entonces con un nivel de significación del 5% se acepta la hipótesis nula de que la variabilidad en el contenido sigue siendo la misma, es decir σ²=6.5.

Ejemplo 2:

La gerencia de una empresa avícola considera que la variabilidad que se presenta en el peso de los pollos de 3 meses es aceptable, puesto que cree que la desviación estándar de los pesos es de 250 gramos. Un grupo de socios de la empresa pone en duda lo manifestado por la gerencia y considera que la variabilidad es superior; por lo cual 6 meses después la gerencia ordena tomar una muestra de 30 pollos de 3 meses seleccionados aleatoriamente y encuentra que la desviación estándar de la misma es de S=225 gramos. Con un nivel de significación del 5%, compruebe quien tiene la razón.

Solución

Hipótesis nula e hipótesis alternativa: Ho:σ = 250, Ha: σ > 250. La prueba es unilateral a la derecha, puesto que el grupo de socios considera que la variabilidad es superior a 250 gramos.

Nivel de significación: α = 0.05

Criterio de decisión: Como la población se distribuye normalmente y la prueba es unilateral a la derecha, entonces, según las tablas para 29 grados de libertad el valor de . Por lo tanto, el criterio de decisión será el siguiente: Si el valor de calculado es mayor que X2 0.005= 42.5570, se rechaza la hipótesis nula de que la desviación estándar es de 250 gramos.

Cálculo del estadístico sobre el cual se basará la decisión: n=30, S=135 , σ = 225.

X² = ((n - 1) * s²) / σ² = ((30 - 1) * 135²) / 255² = 8.128

Tomar la decisión: Como X² (8.128) es menor que 42.5570 se acepta la hipótesis nula de que la desviación estándares de 250 gramos.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA RAZÓN DE VARIANZAS

Sean X1, X2,…, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población normal con varianza σ² sub>1; del mismo modo sea Y1, Y2,…, Yn2 otra muestra aleatoria extraída de una población normal con varianza σ²2 . Si s21 y s22 son las varianzas de la primera y segunda muestra, respectivamente, podemos afirmar que s21/ s22 es un estimador de la razón de varianzas σ²1 / σ²2 sabiendo que la variable.

Para comprobar dicha afirmación u otras relativas a la comparación de varianzas, estudiaremos los tres modelos de hipótesis aplicadas a la razón de varianzas.

Estadístico de la prueba.

Para los tres modelos el estadístico de la prueba estará basado en la variable T la que al simplificarse se reduce a FC = (s²1)/( s²2 ) La variable T anterior se reduce a ésta pues en los tres modelos la hipótesis nula afirmará que las varianzas poblacionales son iguales.

Modelo de cola a la izquierda

Ho: σ²1 ≥ σ²2
H1: σ²1 < σ²2

En este modelo, el valor crítico será Fα

Criterio de decisión:
Si FC < Fα entonces rechazaremos la hipótesis nula, en caso contrario no la rechazaremos.

Modelo de cola a la derecha

Ho: σ²1 ≤ σ²2
H1: σ²1 > σ²2

En este caso el valor crítico será
F(1-α).

Criterio de decisión: Si FC > F<1-α entonces rechazaremos Ho, en caso contrario no la rechazaremos.

Modelo de cola bilateral

Ho: σ²1 = σ²2
H1: σ²1 ≠ σ²2

En un modelo de dos colas tendremos que obtener los valores críticos F(α/2) y F(1-α/2).

Criterio de decisión:
Si FC < Fα/2 ó FC > F1-α/2 entonces rechazaremos Ho en caso contrario no se rechazará.

FORMULA

Ejemplo 1:

Se quiere comprobar si la variabilidad en la duración de unas lámparas marca A es igualmente variable que la duración de otra marca B de la competencia. Para tal fin, se toma una muestra aleatoria de 13 lámparas tipo A y se encuentra que la desviación estándar muestral es S=8, mientras que en otra muestra aleatoria de 13 lámparas tipo B se encuentra que la desviación estándar muestral es de S=4. Se pide probar la hipótesis nula de que la variabilidad es igual en ambas poblaciones con un nivel de significación del 5%. Se supone que la duración de las lámparas se distribuye normalmente para ambas marcas.

Solución

Hipótesis nula e hipótesis alternativa para prueba bilateral: H⁰₂₂₂₁;σ1² = σ2² y Ha: σ1² ≠ σ2²

Nivel de significación:α = 0.05

Criterio de decisión: Si el valor de F calculado se encuentra fuera del intervalo señalado por los dos valores de F según la tabla, entonces rechazamos la hipótesis nula de que las dos desviaciones estándar poblacionales son iguales. Es decir, si el valor de F calculado está fuera del intervalo F(0.025,12,12) =3.28 y F(0.975,12,12) =1/3.28=0.305, entonces se rechaza la hipótesis nula.

F = s1² / s2² = 8² / 4² = 4

Decisión: Como 4 se encuentra fuera del intervalo según el criterio de decisión, entonces, con un nivel de significación del 5%, se rechaza la hipótesis nula de que la variabilidad sea igual para ambas marcas.

Estadística

PRUEBA HIPÓTESIS

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