INTERVALOS DE CONFIANZA

 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA VARIANZA

Un intervalo de confianza es una técnica de estimación utilizada en inferencia estadística que permite acotar un par o varios pares de valores, dentro de los cuales se encontrará la estimación puntual buscada (con una determinada probabilidad).

FACTORES DE LOS QUE DEPENDE UN INTERVALO DE CONFIANZA

El cálculo de un intervalo de confianza depende principalmente de los siguientes factores:

TAMAÑO DE LA MUESTRA SELECCIONADA: Dependiendo de la cantidad de datos que se hayan utilizado para calcular el valor muestral, este se acercará más o menos al verdadero parámetro poblacional.

NIVEL DE CONFIANZA: Nos va a informar en qué porcentaje de casos nuestra estimación acierta. Los niveles habituales son el 95% y el 99%.

MARGEN DE ERROR DE NUESTRA ESTIMACIÓN: Este se denomina como alfa y nos informa de la probabilidad que existe de que el valor poblacional esté fuera de nuestro intervalo.

LO ESTIMADO EN LA MUESTRA (MEDIA, VARIANZA, DIFERENCIA DE MEDIAS.. De esto va a depender el estadístico pivote para el cálculo del intervalo.

FORMULA

n: Tamaño de la muestra

s: Desviación estándar de la muestra

X² a/2:Error máximo esperado /2, se busca en la tabla con (n-1) 

X² - 1-a/2: Error máximo esperado /2, se busca en la tabla con (n-1) 

 

EJERCICIOS 

Ejercicios 1

Se sabe por experiencia que el tiempo que tarda el servicio de caja de una empresa prestadora del servicio de agua de una región para atender a los clientes que llegan a efectuar el pago mensual del servicio se distribuye normalmente. Se pide estimar el intervalo de confianza para la desviación estándar poblacional del tiempo requerido para atender los pagos que efectúan los clientes, con un nivel de confianza del 95%, si para el efecto se tomó una muestra aleatoria de 25 clientes que arrojó una desviación estándar de 1.8 minutos.

                 P = ( ((n-1) * (S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n - 1) * (S²)) / ((X²) 1 - a / 2)))= 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n= 25 clientes                                       Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi  S=1.8 minutos                                      Cuadrado los dos con (n-1)

Error máximo esperado= 1-0.95= 0.05                                     (X²) a / 2 = (0.025 , 24) = 39.3641

(X²) a / 2= (0.05 / 2)= 0.025                                                      (X²) 1-a / 2)=(0.975 , 24) = 12.4011

(X²) 1-a / 2)=(1- (0.05 / 2)= (1 - 0.25)= 0.975                   

                                                 P=(((24)*(1.8²)) / ((39.3641) ≤ σ² ≤ ((24) * (1,8²)) / ((12.4011)))= 0.95 

n-1=(25-1)=24                                                                   P= ( 1.975 minutos ≤ σ² ≤ 6.2704 minutos )

(X²) a / 2= (0.025 ,24)

(X²) 1-a / 2)= (0.975 , 24)

Ejercicios 2

A un grupo de individuos se les sometió a una dieta especial y al final se les midió el nivel  de colesterol en el plasma los resultados son S= .3919 mmol/litro, n=12 personas, Suponiendo que la población de colesterol tiene una distribución normal, construye un IC del  95% para desviación estándar poblacional de colesterol.

                 P = ( ((n-1) * (S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n-1) * (S²)) / ((X²) 1- a / 2))) = 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n= 12 personas                                     Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi  S= 0.3919                                            Cuadrado los dos con (n-1)

Error máximo esperado = 1-0.95= 0.05                                    (X²) a / 2 = (0.025 ,11) = 21.9200

(X²) a / 2= (0.05/2) = 0.025                                                   (X²) 1-a / 2) = (0.975 , 11) = 3.8157

(X²) 1-a / 2)= (1-(0.05/2) = (1-0.25) = 0.975       

n-1= (12-1) =11              P=(((11)*(0.3919²)) / ((21.9200) ≤ σ² ≤ ((11) * (0.3919²)) / ((3.8157))) = 0.95     

(X²) a / 2= (0.025 ,11)                                    P = ( 0.0770mmol/litro ≤ σ² ≤ 0.4428 mmol/litro)

(X²) 1-a / 2) = (0.975 , 11)

                                              Ejercicios 3

La varianza de la resistencia a la rotura de 30 cables probados fue de 32,000 lbs2. Halle  un intervalo de confianza del 90%, para la varianza de la resistencia de todos los cables de  ésta marca.

                 P = (((n-1) * (S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n-1) * (S²)) / ((X²) 1- a / 2)))= 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n = 30 cables                                     Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi      S² = 32000 lbs2                              Cuadrado los dos con (n-1)

S =(√32000) = 178.88.                                                 (X²) a / 2 = (0.05 , 29) = 42.5569  

Error máximo esperado= 1-0.90= 0.10                        (X²) 1-a / 2)= (0.95 , 29) = 17.7084

(X²) a / 2 = (.10/2) = 0.05  

(X²) 1-a / 2) = (1 - (0.10/2) = (1-0.05) = 0.95       

n-1 = (30-1) = 29             P=(((29)*(178.88²)) / ((42.5569) ≤ σ² ≤ ((29) * (178.88²)) / ((17.7084))) = 0.90

(X²) a / 2= (0.025 ,11)                                    P = ( 0.012 lbs ≤ σ² ≤ 292.9412 lbs )

(X²) 1-a / 2) = (0.975 , 11)

Ejercicios 4

Calcule el intervalo de confianza para la varianza sobre las ventas de 15 vendedores al 90% con los siguientes datos varianza= 2.143 miles de pesos.

                 P = (((n-1) * (S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n-1) * (S²)) / ((X²) 1- a / 2))) = 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n = 15 vendedores                                Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi  S² = 2.143                                         Cuadrado los dos con (n-1)

Error máximo esperado= 1-0.90 = 0.10                                 (X²) a / 2 = (0.05 , 14) = 23.6848

(X²) a / 2 = (.10/2) = 0.05                                                      (X²) 1-a / 2) = (0.95 , 14) = 6.5706         

(X²) 1-a / 2) = (1 - (0.10/2) = (1-0.05) = 0.95         

n-1= (15-1) =14                         P=(((14) * (2.143)) / ((23.6848) ≤ σ² ≤ ((14) * (2.143)) / ((6.5706)))=0.90

(X²) a / 2 = (0.025 ,14)                                    P = ( 1. 266 ≤ σ² ≤ 4. 566 (MILES DE PESOS) )

(X²) 1-a / 2) = (0.975 , 14)

Ejercicios 5

El tiempo que transcurre para los obreros de una gran compañía entre el momento del ingreso a la planta y el momento en que están listos para recibir las orientaciones de su jefe inmediato, se distribuye normalmente. Una muestra de 20 obreros arroja una desviación estándar de 3.5 minutos. Se pide calcular el intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del tiempo transcurrido para todos los obreros de la compañía.

                 P = (((n-1)*(S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n-1) * (S²)) / ((X²) 1- a / 2)))= 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n = 20 obreros                                    Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi   S = 3.5                                              Cuadrado los dos con (n-1)

Error máximo esperado= 1-0.99 = 0.01                                    (X²) a / 2 = (0.005 ,19) = 38.5821

(X²) a / 2 = (.01/2) = 0.005                                                      (X²) 1-a / 2) = (0.995 , 19) = 6.8439         

(X²) 1-a / 2) = (1-(0.01/2) = (1-0.005) = 0.995         

n-1= (20-1) =19                    P = (((19) * (3.5²)) / (38.5821) ≤ σ² ≤ ((19) * (3.5²)) / (6.8439))) =0.99

(X²) a / 2 = (0.005 ,19)                                    P = (6.032 minutos ≤ σ² ≤ 34.008 minutos )

(X²) 1-a / 2) = (0.995 , 19)

                                                Ejercicios 6

Las pruebas efectuadas a una muestra aleatoria de 40 motores mostraron que  tenían una desviación estándar de la eficiencia térmica del 1.6%. Calcule el intervalo  de confianza para grandes muestras del 95% para la desviación estándar.

                 P = (((n-1) * (S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n-1) * (S²)) / ((X²) 1- a / 2))) = 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n = 40 motores                                  Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi    S = 0.016                                          Cuadrado los dos con (n-1)

Error máximo esperado= 1-0.95 = 0.05                                    (X²) a / 2 = (0.025 , 39) = 58.1201

(X²) a / 2 = (.05/2) = 0.025                                                      (X²) 1-a / 2 = (0.975 , 39) = 23.6543         

(X²) 1-a / 2 = (1-(0.05/2) = (1-0.025) = 0.975         

n-1 = (40-1) =39             P = (((39) * (0.016²)) / (58.1201) ≤ σ² ≤ ((39) * (0.016²)) / (23.6543))) = 0.95

(X²) a / 2 = (0.025 ,39)                                    P = (0.0001 ≤ σ² ≤ 0.004 eficacia )

(X²) 1-a / 2) = (0.975 , 139)

Ejercicios 7

Una muestra aleatoria de 8 pedidos que le hacen a una compañía, nos muestra  que los mismos demoraron en ser atendidos con una desviación estándar de 1.75  días. Construir el intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del  tiempo que tarda la compañía en atender la orden.

                 P = (((n-1) * (S²)) / ((X²) a / 2) ≤ σ² ≤ ((n-1) * (S²)) / ((X²) 1- a / 2)))= 1-a

Datos                                                     Se sustituye la las variables de la fórmula con los datos del Problemas

n = 8 pedidos                                     Se busca ((X²) a / 2)  y ((X²) 1- a / 2) en la tabla de Distribución Chi   S = 1.75                                            Cuadrado los dos con (n-1)

Error máximo esperado = 1-0.99 = 0.01                                    (X²) a / 2 = (0.005 , 7) = 20.2777

(X²) a / 2= (.01/2) = 0.005                                                      (X²) 1-a / 2) = (0.995 , 7) = 0.9893       

(X²) 1-a / 2) = (1-(0.01/2) =(1-0.005)= 0.995         

n-1= (8-1)=7               P = ( ((7) * (1.75²)) / (20.2777) ≤ σ² ≤ ((7) * (1.75²)) / (0.9893))) = 0.99

(X²) a / 2 = (0.005 ,7)                                    P = (1.0571 días ≤ σ² ≤ 21.6693 días )

(X²) 1-a / 2) = (0.995 , 7)