"INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPOSICIÒN Y DIFERENCIA DE PROPORCIONES"
INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPOSICION ESTADISTICA
un intervalo
de confianza se define como un rango de valores que depende de un
coeficiente de confianza. Este coeficiente indica el porcentaje de
muestras tomadas en las mismas condiciones, en las cuales
el intervalo cubriría el verdadero valor del parámetro.
DIFERENCIA DE PROPORCIONES.
El estadístico de prueba que permite contrastar frente a a
partir de dos muestras aleatorias e independientes es siendo p la estimación de
obtenida del total de observaciones.
SE UTILIZA PARA …
Si se consideran las proporciones como medias y se aplica la
prueba utilizada para comparar medias poblacionales los resultados no son
fiables ya que la estimación del error típico que realiza el programa no
coincide con la del estadístico de prueba. Para resolver el problema con el programa
SPSS se deberá cruzar la variable analizada con la que define los grupos
(obtener la tabla de contingencia) y realizar el contraste de independencia
Chi-cuadrado.
FORMULA
n: Muestra
p: Proporción (p/n)
z: Nivel de confianza
p:(1-p) error máximo esperado
EJERCICIOS
EJERCICIOS 1
Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
P = p ± Z * (√(p*q)/n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 500 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = 0.03 P = p ± Z * (√(p*q)/n) = 0.3 ± 1.645 * (√(0.03*0.97)/500)
Z = 90% = 1.645 P = 0.3 ± 0.01254
q = (1-0.03) = 0.97 P = (0.01745 ,0.04254)
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 1.74%, 4.254% con un nivel de confianza del 90%
EJERCICIOS 2
En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas. Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación e tal que se pueda tener un 95% de confianza en que P dista menos de p.
P = p ± Z * (√(p*q)/n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 400 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = 0.05 P = p ± Z * (√(p*q) / n) = 0.05 ± 1.96 * (√(0.05 * 0.95) / 400)
Z = 95% = 1.96 P = 0.05 ± 0.02135
q = (1-0.05) = 0.95 P = (0.02865 , 0.07135 )
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 2.86%, 7.13% con un nivel de confianza del 95%
EJERCICIOS 3
En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales.
P = p ± Z * (√(p * q) / n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 300 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = 0.2 P = p ± Z * (√(p * q) / n) = 0.2 ± 1.645 * (√(0.2 * 0.8) / 300)
Z = 90% = 1.645 P = 0.2 ± 0.03798
q = (1-0.2) = 0.8 P = (0.16202, 0.2379 )
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 16.02%, 23.79% con un nivel de confianza del 90%
EJERCICIOS 4
De un total de 2800 estudiantes aspirantes a ingresar a una universidad, se quiere estimar la proporción de aspirantes que nacieron en la ciudad sede de la universidad, para lo cual se toma una muestra de 144, de los cuales 108 nacieron en la ciudad sede. Calcule el intervalo con un nivel de confianza del 95%.
P = p ± Z * (√(p * q) / n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 144 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = 0.75 P = p ± Z * (√(p * q) / n) = 0.75 ± 1.96 * (√(0.75 * 0.25) / 144)
Z = 95% = 1.96 P = 0.2 ± 0.07036
q = (1-0.75) = 0.25 P = (0.67964, 0.8203)
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 67.96%, 82.03 % con un nivel de confianza del 95%
EJERCICIOS 5
De un total de 2800 estudiantes aspirantes a ingresar a una universidad, se quiere estimar la proporción de aspirantes que nacieron en la ciudad sede de la universidad, para lo cual se toma una muestra de 254, de los cuales 190 nacieron en la ciudad sede. Calcule el intervalo con un nivel de confianza del 95%.
P = p ± Z * (√(p * q) / n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 254 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = (190/254) = 0.74 P = p ± Z * (√(p * q) / n) = 0.74 ± 1.96 * (√(0.74 * 0.26) / 254)
Z = 95% = 1.96 P = 0.74 ± 0.05394
q = (1-0.74) = 0.26 P = (0.68605, 0.79394)
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 68.60%, 79.39 % con un nivel de confianza del 95%
EJERCICIOS 6
En una muestra aleatoria de 160 trabajadores expuestos a cierta cantidad de radiación 24 experimenta efectos nocivos. Construir el intervalo de confianza del 99% para la verdadera proporción poblacional.
P = p ± Z * (√(p * q) / n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 160 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = (24/160) = 0.15 P = p ± Z * (√(p * q) / n) = 0.15 ± 2.58 * (√(0.15 * 0.85) / 160)
Z = 99% = 2.58 P = 0.15 ± 0.072830
q= (1-0.15) = 0.85 P = (0.077169 , 0.22283)
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 7.71%, 22.28 % con un nivel de confianza del 99%
EJERCICIOS 7
De una muestra aleatoria de 200 comparendos por infracciones de tránsito, 84 de ellos se debieron al uso del celular por parte del conductor sin el uso de manos libres mientras el vehículo estaba en marcha. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción real por el uso indebido del celular.
P = p ± Z * (√(p * q) / n)
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
n = 200 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
p = (84/200) = 0.42 P = p ± Z * (√(p * q) / n) = 0.42 ± 1,96 * (√(0.42 * 0.58) / 200)
Z = 95% = 1.96 P = 0.42 ± 0.068403
q = (1-0.42) = 0.58 P = (0.35159 , 0.48840)
Se multiplica por 100% los valores que salieron en la resta y suma
P = 35.15%, 48.84% con un nivel de confianza del 95%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDA
Tiene una distribución normal si las dos poblaciones
son normales, o aproximadamente normal si cumple con las condiciones del
teorema del límite central (tamaños de muestras relativamente grandes).
PARA CALCULARLO
Para calcular el intervalo de confianza para la
diferencia de dos medias se debe saber si las varianzas poblacionales son
conocidas o desconocidas, y en caso de que sean desconocidas, se debe probar si
son iguales o diferentes. Cada uno de estos tres casos se analizarán por
separado
Cuando las varianzas son desconocidas, se debe
realizar previamente una prueba estadística para verificar si éstas son iguales
o diferentes. Para hacerlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea
mediante el cálculo de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos
poblaciones con varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de
confianza para la relación de dos varianzas, según se estudiará más adelante.
Como se desconocen las varianzas de la población, se usa n las varianzas de las
muestras como estimadores.
P:probabilidad
x̅: media de la muestra
σ:varianza
n:tamaño de la muestra
μ:poblaciòn
EJERCICIOS
EJERCICIOS 1
Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente.
μ1 - μ2 = (x̅1-x̅2) ± z * (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2)) =
Datos: Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x1 = 36 milla x galón Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x2 = 42 millas x galón μ1 - μ2 = (42-36) ± 2.05 * ( √ (((6)² / 50) + (((8)² / 75)) =
(σ1)² = 6 μ1- μ2 = 6 ± 2.57136 =
(σ2)² = 8 μ1 - μ2 = 3.43 , 8.57 millas por galón
n1 = 50
n2 = 75
Z = 96% = 2.05
EJERCICIOS 2
Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B.
μ1 - μ2 = (x̅1-x̅2) ± z * (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2)) =
Datos: Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x1 = 36300 km Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x2 = 38100 km μ1 - μ2 = (38100-36300) ± 1.96 * ( √ (((5000)² / 12) + (((6100)² / 12)=
(σ1)² = 5000 μ1- μ2 = 1800 ± 4462.67 =
(σ2)² = 6100 μ1 - μ2 = 2662.67 , 6262.67 km
n1= 12
n2 = 12
Z = 95% = 1.96
EJERCICIOS 3
Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. La desviación estándar del larguero 1 es de 1.0 Kg/mm2 y la del larguero 2 es de 1.5 Kg/mm2. Se sabe que el comportamiento de las resistencias a la tensión de las dos clases de largueros son aproximadamente normal. Se toma una muestra de 10 largueros del tipo 1 obteniéndose una media de 87.6 Kg/mm2, y otra de tamaño 12 para el larguero 2 obteniéndose una media de 74.5 Kg/mm2. Estime un intervalo de confianza del 90% para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio.
μ1 - μ2=(x̅1-x̅2) ± z * (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2)) =
Datos: Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x1 = 87.6 km/mm2 Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x2 = 74.6 km/mm2 μ1 - μ2 = (87.6-74.6) ± 1.645 * ( √ (((1)² / 10) + (((1.5)² / 12) =
(σ1)² = 1 μ1- μ2 = 13 ± 0.88203 =
(σ2)² = 1.5 μ1 - μ2 = 12.118 , 13.882 km/mm2
n1 = 10
n2 = 12
Z = 90% = 1.645
EJERCICIOS 4
Dos compañías A y B fabrican el mismo tipo de cable y un distribuidor desea conocer la diferencia promedio de la resistencia a la rotura de los mismos, para lo cual toma muestras de 100 cables de A y 50 cables de B. La muestra de los cables de la compañía A arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4.500 libras y los cables de la compañía B arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4.000 libras. Si se sabe por experiencia que la desviación estándar de la resistencia a la rotura es de 300 libras para la compañía A y de 200 libras para la compañía B, se pide estimar el intervalo de confianza de la diferencia de medias de la resistencia a la rotura entre los dos cables, con un nivel de confianza del 95%. Se sabe que la resistencia a la rotura se distribuye normalmente para ambas compañías.
μ1 - μ2=(x̅1-x̅2) ± z * (√(((σ1)² / n1) + (σ2)^2/n2)) =
Datos: Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x1 = 4500 libras Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x2 = 4000 libras μ1 - μ2 = (4500-4000) ± 1.96 * ( √ ((300)² / 100) + (200)² / 50))) =
(σ1)² = 300 μ1- μ2 = 500 ± 80.812 =
(σ2)² = 200 μ1 - μ2 = 419.18 , 580.81 libras
n1 = 100
n2 = 50
Z = 95% = 1.96
EJERCICIOS 5
En una compañía se quiere estimar la diferencia de los promedios de los rendimientos para producir cierta pieza por parte de los obreros en dos turnos diferentes. Para tal fin el Jefe de producción de la empresa toma muestras de 32 obreros para el turno 1 y encuentra que la media en la misma es de 20 minutos mientras que la desviación estándar es de 2.8 minutos. Por otra parte tomó una muestra de 35 obreros del turno 2 y encuentra que la media de la misma es de 22 minutos mientras que la desviación estándar es de 1.9 minutos. Se pide calcular el intervalo de confianza de la diferencia de las medias de los rendimientos en los dos turnos con un nivel de confianza del 90%.
μ1 - μ2= (x̅1-x̅2) ± z * (√(((σ1)² / n1) + ((σ2)² / n2)) =
Datos: Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x1 = 20 minutos Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x2 = 22 minutos μ1 - μ2 = (22-20) ± 1.645 * ( √ (((2.8)² / 32) + (((1.9)² / 35) =
(σ1)²= 2.8 μ1- μ2 = 2 ± 0.97060 =
(σ2)²= 1.9 μ1 - μ2 = 1.03 , 2.970 minutos
n1= 32
n2= 35
Z = 90%= 1.645
EJERCICIOS 6
Se pide resolver el problema anterior asumiendo que los rendimientos de los obreros en ambos turnos se comportan normalmente y que el tamaño de muestra para el turno 1 fue de 25 obreros y el tamaño de muestra para el turno 2 fue de 17 obreros. Se pide un nivel de confianza del 95% para la estimación del intervalo y una desviación estándar de 2.479 para ambas muestras.
μ1 - μ2 = (x̅1-x̅2) ± z * (√(((σ1)² / n1) + (((σ2)² / n2)) =
Datos: Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
x1 = 20 minutos Z es el Porcentaje que da el problema y el Porcentaje se busca en la tabla de Nivel de Confianza y se sustituye por el valor de la tabla
x2 = 22 minutos μ1 - μ2 = (22 - 20) ± 1.96 * ( √ (((2.479)² / 25) + (((2.479)² / 17) =
(σ1)² = 2.479 μ1- μ2 = 2 ± 1.52743 =
(σ2)² = 2.479 μ1 - μ2 = 0.47256 , 3.52743 minutos
n1 = 25
n2 = 17
Z = 95% = 1.96
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