TEOREMA DEL LÍMITE
CENTRAL
El teorema describe la distribución de la media de una
muestra aleatoria proveniente de una población con varianza finita.
PROPIEDADES
·
El
teorema del límite central garantiza una distribución aproximadamente
normal
cuando n es suficientemente grande.
·
Existen
diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas
para asegurar la convergencia. Una de las más simples
establece que es suficiente que las variables que
se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor
esperado y varianza finitas.
·
La
aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de
las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual
se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central"
califica al límite, más que al teorema).
·
Este
teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra
aplicación en muchos campos relacionados, tales como
la inferencia estadística o la teoría de renovación.
ABRAHAM DE MOIVRE
Uno de los resultados más notables de la teoría estadística
es el teorema central del límite, estudiado por varios matemáticos destacados,
que fue establecido por primera vez en 1738 por Abraham De Moivre, bajo
condiciones muy restringidas. A principios del siglo XIX Laplace lo formuló de
manera más general; pero no fue hasta 1901 cuando el eminente probabilista de
San Petersburgo, A. M. Liapounov (1857- 1918) lo estableció finalmente en
condiciones muy generales y proporcionó una demostración completa y rigurosa,
empleando herramientas matemáticas mucho más sofisticadas.
IMPORTANCIA
Permite usar estadísticos de muestra para hacer inferencias
con respecto a los parámetros de población sin saber nada sobre la forma de la
distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de
esa muestra.
FORMULA
Sea X una variable aleatoria cualquiera de media μ y desviación típica σ , entonces: Si el tamaño muestral n es suficientemente grande (en la práctica suele valer n>30), la distribución de las medias muéstrales se aproxima a la de una normal, por lo tanto:
EJERCICIO 1
Una máquina llena bolsas de cubrebocas con un contenido medio de150gr y una varianza de 120 grs2. Si se toma una muestra de 40 bolsas, ¿Cuáles la probabilidad de que la media muestral esté entre x̅ =145 y x̅ =152 grs?
P (145 ≤x̅≤ 152)
Sustituye la siguiente
variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (145-150)/((10.9544/√40))= -2.89
σ2= 120 grs2 Z2=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (152-150)/((10.9544/√40))= 1.15
σ= √120 =10.9544 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(1.15) y el valor de Z2 es de → 0.87493
n=4 Se realiza una resta entre Z2 - Z1:
.87493 - 0.00193 = 0.873Luego se multiplica por 100%
0.873 x 100% = 87.3%
R= La probabilidad de que la media muestral esté entre x̅ =145 grs y x̅ =152 grs es del 87.3%
El peso de un producto en Kg sigue una distribución normal con media 30 y desviación típica 3kg. Un empresario decide aceptar un lote de 600 unidadesque le envía el proveedor, si al elegir 5 unidades de dicho producto al azar encuentra que su peso medio no es menor que 29kg. Calcular la probabilidad de que se rechace el lote?
P (x̅≤ 29)
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (29-30)/((3/√5))= 0.7453
σ= 3 kg. Luego se multiplica por 100%
n=5 0.22965 x 100% = 22.97%
x̅=29
R= La probabilidad de que se rechace el lote es del 22.97%.
Un banco llevó una estadística de los reclamos de los clientes en todas sus sucursales y vio que está distribuido normalmente, con una media de 305 reclamos por año y una desviación estándar de 27 reclamos. Obtenga la probabilidad de que una muestra aleatoria de 33 sucursales se tengan 290 reclamos por año.
P (x̅≤ 29)
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (290-305)/((27/√33))= -3.191
σ= 27 re.. Luego se multiplica por 100%
n=33 0.00071 x 100% = =.071%
x̅=290
R= La probabilidad de que se las 33 sucursales tengan 290 reclamos x año.
Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido 20 paquetes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy esté mayor a 40 minutos?.
P (x̅ > 40)
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (40-35)/((8/√20))= 2.7950
σ= 8 min Se hace la resta 1 - Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n=20 1 - 0.99736 = 0.002641
x̅=40 Luego se multiplica por 100%
0.002641 x 100% =.26%
R= La probabilidad de encontrar Un entrega mayor a 40 min es del .26%
Ciertos tubos fabricados por una compañía, tienen una duración media de 900 horas y una desviación estándar de 70 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 36 tubos, ¿cual es la probabilidad de que dichos tubos tengan una duración media entre 870 y 925 horas?
P (870 ≤ x̅ ≤ 925)
Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (870-900)/((70/√36))= -2.5714
σ= 70 hrs Z2=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (925-900)/((70/√36))= =2.142
n=4 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(2.142) y el valor de Z2 es de → 0.98382
x̅1= 870 Se realiza una resta entre Z2 - Z1:
x̅2=925 0.98382 – 0.00508 = 0.9787Luego se multiplica por 100%
0.9787 x 100% = 97.87%
R= La probabilidad de que los tubos tengan una duración media entre 870 y 925 horas son del 97.87%
La edad de los miembros de una determinada asociación sigue una distribución normal N. Sabemos que la distribución de las medias de las edades en muestra de tamaño 36 tienen como media 52 años y como desviación típica 15 años ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la asociación, elegido al azar sea mayor de 60 años?
P (x̅ > 60)
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (60-52)/((15/√36))= 3.20
σ= 15 Años Se hace la resta 1 - Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n=36 1 - 0.99931 = 0.00069
x̅=60 Años Luego se multiplica por 100%
0.00069 x 100% =.0.069%
R= La probabilidad de un miembro de la asociación, elegido al azar sea mayor de 60 años es del 0.069%
En la clase de estadística la media de un examen bimestral es de 80 puntos con una desviación estándar de 12 puntos. Si la distribución de notas es normal y en la clase hay 35 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya obtenido una nota entre 75 y 85 puntos?
P (75 ≤ x̅ ≤ 85)
Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (75-80)/((12/√35))= -2.465
σ= 12 puntos Z2=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (85-80)/((12/√35))= 2.465
n=35 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(2.46) y el valor de Z2 es de → 0.99305
x̅1= 75 puntos Se realiza una resta entre Z2 - Z1:
x̅2= 85 puntos 0.99305 – 0.00695 = 0.9861Luego se multiplica por 100%
0.9861 x 100% = 98.61%
R= La probabilidad de que haya obtenido una nota entre 75 y 85 puntos es del 98.61%
Suponga que la media del precio de venta de un galón de gasolina en México es de $1.30, Además, asuma que la distribución está posiblemente inclinada, con una desviación estándar de 0.28. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 35 estaciones de gasolina y encontrar una media muestral dentro de $1.22. y $1.38 ?
P (1.22 ≤ x̅ ≤ 1.38)
Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (1.22-1.30)/((0.28/√35))= -1.690
σ= 0.28 pesos Z2=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (1.38-1.30)/((0.28/√35))= 1.690
n=35 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(1.69) y el valor de Z2 es de → 0.95449
x̅1= 1.22 pesos Se realiza una resta entre Z2 - Z1:
x̅2= 1.38 pesos 0.95449 – 0.04551 = 0.90898Luego se multiplica por 100%
0.9089 x 100% = 90.89%
R= La probabilidad de seleccionar una muestra de 35 estaciones de gasolina y encontrar una media muestral dentro de $1.22. y $1.38 es del 90.89%
Una máquina llena bolsas de chocolates con un contenido medio de 160gr y una varianza de 110 grs2. Si se toma una muestra de 35 bolsas, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 140 y 172 grs?
P (140 ≤ x̅ ≤ 172)
Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (172-160)/((10.4880/√35))= -11.281
σ2= 110 grs2 Z2=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (172-160)/((10.4880/√35))= 6.7689
σ=√110= 10.4880 grs Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(6.76) y el valor de Z2 es de → 1.00000
n=35 Se realiza una resta entre Z2 - Z1:
x̅1= 140 grs 1.00000 – 0.00000 = 1.00000x̅2= 172 grs Luego se multiplica por 100%
1.00000x 100% = 100%
R= La probabilidad de de que la media muestral esté entre 140 y 172 grs es del 100%
Ciertos artículos fabricados por una compañía, tienen una duración mediada 800 horas y una desviación estándar de 65 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 40 tubos, ¿Cuál es la probabilidad de que dichos tubos tengan una duración media entre 670 y 925 horas?
P (670 ≤ x̅ ≤ 925)
Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (670-800)/((65/√40))= -12.649
σ= 65 horas Z2=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (925-800)/((65/√40))= 12.162
n=40 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(12.1) y el valor de Z2 es de → 1.00000
x̅1= 670 horas Se realiza una resta entre Z2 - Z1:
x̅2= 925 horas 1.00000 – 0.00000 = 1.00000Luego se multiplica por 100%
1.00000x 100% = 100%
R= La probabilidad de que tubos tengan una duración media entre 670 y 925 horas sea del 100%
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas?
P (x̅≤ 775)
Datos Z1=(x̅-μ)/((σ/√n)) = (775-800)/((40/√16))= -2.50
σ= 40 horas. Luego se multiplica por 100%
n=16 0.00621 x 100% = 0.621%
x̅= 775 horas
R= La probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas es del 0.621%
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