DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÒN
La distribución muestral de
proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial; una
distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras,
mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio
(media) de los éxitos. Como consecuencia de esta relación, las afirmaciones
probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la
aproximación normal a la binomial.
La distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el error para un tamaño de muestra dado.
Queremos investigar la
proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la
muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar
respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que
la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras
de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde
"x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n"
el tamaño de la muestra) en lugar del estadístico media.
FORMULA
EJERCICIO 1
Se ha demostrado por reclamos que se han hecho, que el 20% de las entregas llegan averiadas al utilizar una compañía intermunicipal de transporte. ¿Cuál es la probabilidad de que al enviar 100 entregas, la proporción de averiadas sea menor que el 25%?
Z = (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z = (p-P) / ((P * q) / √n) = (0.25 - 0.20) / (√(0.20 * 0.80) / 100) = 1.25
P = 0.20 Luego se multiplica por 100%
q = 1-P = (1-.20) =.80 0.89435x100% = 89.43%
n = 100
R= La probabilidad de que al enviar 100 entregas, la proporción de averiadas sea menor que el 25% es del 89.43%
En una gran compañía, el P=18% de los trabajadores están de acuerdo con un proyecto de ley que modifica el código laboral Mexicano. La gerencia de la compañía desea conocer la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n=120 trabajadores, el p=30% o más estén de acuerdo con dicho proyecto de ley.
Z= (p - P) / (√(P * q) / n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z = (p-P) / ((P * q) / √n) = (0.30 - 0.18) / (√(0.18 * 0.82) / 120) = 3.42159
P = 0.18 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
q = 1-P = (1-0.18) = 0.82 1-0.99968 = 0.00032
n = 120 Luego se multiplica por 100%
0.00032 x 100% = 0.032%
R= La probabilidad de que en una muestra aleatoria de n=120 trabajadores, el p=30% o más estén de acuerdo con dicho proyecto de ley es del 0.032%.
Por experiencia se sabe que el P=68% de los clientes de un supermercado, utilizan vales de consumo. Si se toma aleatoriamente una muestra de n=500 clientes, ¿Cuál es la probabilidad de que menos del p=65% utilicen dichos vales?
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.65-0.68)/(√(0.68*0.32)/500) = -1.438
P= .68 Luego se multiplica por 100%
q= 1-P = (1-0.68) = 0.32 0.07636x100% =7.63%
n= 500
R= La probabilidad de que menos del 65% utilicen dichos vales es del 7.63%.
Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.04-0.03)/(√(0.03*0.97)/150) = 0.71795
P= 0.03 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
q= 1-P = (1-0.03) =0.97 1-0.76115 = 0.23885
n= 150 Luego se multiplica por 100%
0.23885 x 100% = 23.88%
R= La probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4% es del 23.88%
Por experiencia se sabe que el 78% de los estudiantes de la UMB, utilizan su celular para buscar información. Si se toma aleatoriamente una muestra de 480 alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 70% utilicen dichos vales ?
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.70-0.78)/(√(0.78*0.22)/480) = 4.231
P= .78 Luego se multiplica por 100%
q= 1-P = (1-0.78) = 0.22 0.00001 x 100% =0.001%
n= 480
R= La probabilidad de que menos del 70% utilicen dichos vales es del 0.001%.
Una fábrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un 3 % de pasteles defectuosos. Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica. Calcula la probabilidad de que encuentre más del 5 % de pasteles defectuosos.
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.05-0.03)/(√(0.03*0.97)/500) = 2.621
P= 0.03 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
q= 1-P = (1-0.03) =0.97 1-0.99560 = 0.0044
n= 500 Luego se multiplica por 100%
0.0044 x 100% = 0.44%
R= La probabilidad de que encuentre más del 5 % de pasteles defectuosos es del 0.44%.
Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%?
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.40-0.45)/(√(0.45*0.55)/1600) = -4.020
P= 0.45 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
q= 1-P = (1-0.45) =0.55 1-0.00003 = 0.99997
n= 1600 Luego se multiplica por 100%
0.99997 x 100% = 99.997%
R= La probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más es del 99.997%.
En una gran compañía, el 28% de los trabajadores están de acuerdo con un proyecto de ley que modifica el código de seguridad e higiene Mexicano. La gerencia de la compañía desea conocer la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 220 trabajadores, el 35% o más estén de acuerdo con dicho proyecto de ley.
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.35-0.28)/(√(0.28*0.72)/220) = 2.312
P= 0.28 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
q= 1-P = (1-0.28) =0.72 1-0.98956 = 0.01044
n= 220 Luego se multiplica por 100%
0.01044 x 100% = 1.044%
R= La probabilidad de que en una muestra aleatoria de 220 trabajadores, el 35% o más estén de acuerdo con dicho proyecto de ley es del 1.044%
Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga:
a)Menos del 3% de los componentes defectuosos.
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.03-0.04)/(√(0.04*0.96)/60) = 0.395
P= .04 Luego se multiplica por 100%
q= 1-P = (1-0.04) = 0.96 0.34827 x 100% = 34.827%
n= 60
R= La probabilidad de que una Muestra sea de Menos del 3% de los componentes defectuosos es del 34.827%.
b)Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Se realizan dos operaciones para sacar Z ya que tenemos dos medias de la muestra.
Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z1= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.01-0.04)/(√(0.04*0.96)/60) = 1.185
p2= 0.05 Z2= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.05-0.04)/(√(0.04*0.96)/60) = 0.395
P= 0.04 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(1.18) y el valor de Z2 es = 0.65173
q=1-P=(1-0.04)=0.96 Se hace la resta Z2-Z1 ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra.
n= 60 0.65173-0.11900= 0.53273
Luego se multiplica por 100%
0.53273 x 100% = 53.273%
R= La probabilidad de que sea Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas es del 53.273%.
Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de una universidad fuman cigarros. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de que no más de 80% de alumnos de la muestra fume. La media o valor esperado de la proporción es de P=.851.
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.80-0.851)/(√(0.851*0.149)/200) = -2.025
P= 0.851 Luego se multiplica por 100%
q= 1-P = (1-0.851) = 0.149 0.02169 x 100% = 2.169%
n= 200
R= La probabilidad de que no más de 80% de alumnos de la muestra fume es del 2.169%
Suponer que la gente que solicite ingresar a una compañía, 40% pueden aprobar una examen de matemáticas para obtener el trabajo. Si se tomara una muestra de 20 solicitantes. ¿Cuál sería la probabilidad de que 50% o más de ellos aprobaran?
Z= (p-P)/(√(P*q)/n) Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
Datos Z= (p-P)/((P*q)/√n) = (0.50-0.40)/(√(0.40*0.60)/20) = 0.912
P= 0.40 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
q= 1-P = (1-0.40) =0.60 1-0.81859 = 0.18141
n= 20 Luego se multiplica por 100%
0.18141 x 100% = 18.141%
R= La probabilidad de que el 50% o más de ellos aprobaran es del 18.141%.
Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes.
A continuación, se citan algunos ejemplos:
· Educación. - ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas que las de los que aprueban inglés?
· Medicina. - ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que también presentan una reacción de ese tipo?
· Administración. - ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y mujeres en posiciones gerenciales?
· Ingeniería. - ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B?
Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.
Z= ((p1-p2)-(P1-P2))/(√((P1*q1)/n1)+((P2*q2)/n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
P1= 0.12 hombres Z = (0.025)-(0.12-0.10)/(√((0.12*0.88)/100)+((0.10*0.90)/100)) = 0.113
P2= 0.10 mujeres Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(0.11) y el valor de Z es = 0.54380
n1= 100 hombre Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n2= 100 mujeres 1 - .54380 =0.4562
p= (0.03–(.5/100) = 0.025 Luego se multiplica por 100%
q1=(1-0.12)= 0.88 0.4562 x 100% = 45.62%
q2=(1-0.10)= 0.90
R= La probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres es del 45.62%
Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron despedidos entre 2009 y 2014, encontró que 20% habían estado sin trabajo durante por lo menos dos años. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 2009 y 2014. ¿Cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?
Z= ((p1-p2)-(P1-P2))/(√((P1*q1)/n1)+((P2*q2)/n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
P1= P2 Z = (0.0484)−(320 −320)/(√((0.20∗0.80)/320)+((0.20*0.80)/320)) = 1.5306
n1= 320 trabajadores Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(1.53) y el valor de Z es = 0.93699
n2= 320 trabajadores Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
p1=.20 1 - 0.93699 = 0.06301
p1=-.05+(.5/320) = 0.484 Luego se multiplica por 100%
q1=q2 =(1-.020)= .80 0.06301 x 100% = 6.30%
R= La probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más es del 6.30%
Dos máquinas A y B, producen un mismo artículo. La máquina A produce como término medio una proporción de 14% de artículos defectuosos, mientras que la máquina B, produce en término medio una proporción de 20% de artículos defectuosos. Si se obtiene una muestra aleatoria de 200 unidades del artículo que provengan de la máquina A y una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la máquina B, calcular la probabilidad de que B tenga una proporción de defectuosos 8% o más que A.
Z= ((p1-p2)-(P1-P2))/(√((P1*q1)/n1)+((P2*q2)/n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
P1= 0.14 Z = (0.075)-(0.14-0.20)/(√((0.14*0.86)/200)+((0.20*0.80)/100)) = 2.877
P2= 0.20 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(2.87) y el valor de Z es = 0.99775
n1= 200 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n2= 100 1 - 0.99775 = 0.00225
p= (0.08 – (.5/100)) = 0.075 Luego se multiplica por 100
q1=(1-0.14)= 0.86 0.00225 x 100% = 0.225%
q2=(1-0.20)= 0.80
R= La probabilidad de que B tenga una proporción de defectuosos 8% o más que A.
Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina:
a) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10?
Z= ((p1-p2)-(P1-P2))/(√((P1*q1)/n1)+((P2*q2)/n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
P1=3/6= 0.5 Z = (0.0958)-(0.5-0.4)/(√((0.5*0.5)/120)+((0.4*0.6)/120)) = -0.065
P2=2/5= 0.4 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(-0.06) y el valor de Z es = 0.47608
n1= 120 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n2= 120 1 - 0.47608 = 0.52392
p= (0.10–(.5/120)) = 0.0958 Luego se multiplica por 100
q1=(1-0.5)= 0.5 0.52392 x 100% = 52.39%
q2=(1-0.4)= 0.6
R= La probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10 es de 52.39%.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15?
Z=((p1-p2)-(P1-P2))/(√((P1*q1)/n1)+((P2*q2)/n2))
Datos Sustituye la siguiente variables de la formula con los datos del problema.
P1=3/6= 0.5 Z = (0.1458)-(0.5-0.4)/(√((0.5*0.5)/120)+((0.4*0.6)/120)) = 0.716
P2=2/5= 0.4 Se busca este valor en el la tabla de la Z⟶(0.71) y el valor de Z es = 0.76115
n1= 120 Se hace la resta 1-Z ya que se pide una probabilidad mayor de la media de la muestra
n2= 120 1 - 0.76115 = 0.23885
p= (0.15–(.5/120)) = 0.1458 Luego se multiplica por 100
q1=(1-0.5)= 0.5 0.23885 x 100% = 23.88%
q2=(1-0.4)= 0.6
R= La probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15 es del 23.88%
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